Ein unendlicher Spass an der unendlichen Vielfalt

Zu den erstaunlichsten Erkenntnissen der Mathematik geh?rt die Entdeckung, dass es verschiedene Arten von Unendlichkeiten gibt ¨C und es war lange ein offenes Problem, ob gewisse dieser Unendlichkeiten widerspruchsfrei verschieden gross sein k?nnen.

Ein mathematischer Logiker, der sich seit Jahren intensiv damit auseinandersetzt, ist Saharon Shelah von der Hebr?ischen Universit?t ·ÆÂɱösunbetÏÂÔØ_Éê‘_sunbetÏÖ½ðÍø-¡¾¹Ù·½ÍøÕ¾¡¿ Als Gastredner der diesj?hrigen Paul Bernays Lectures wird er ¨¹ber aktuelle Entwicklungen im ?Ringen um die Gr?sse des Unendlichen? berichten. Shelah ist ein ausgewiesener Kenner der mathematischen Unendlichkeitsproblematik. Vor einem Jahr gelang ihm ¨C mit Martin Goldstern und Jakob Kellner von der externe Seite TU Wien ¨C der Beweis, dass zehn ¨C und nicht mehr ¨C Unendlichkeiten verschieden gross sein k?nnen, und dass man sie ihrer Gr?sse nach im so genannten Cicho¨½-Diagramm (siehe Abbildung unten) anordnen kann.

Das war ein bahnbrechender Beweis wie die Geschichte zeigt: Die moderne, mathematische Debatte um die Unendlichkeit begann mit einer Reihe von Entdeckungen, die der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) in den 1870er-Jahren machte. Mit der ¨C von ihm begr¨¹ndeten ¨C Mengenlehre stellte er fest, dass man in der Mathematik viele, ja unendlich viele Unendlichkeiten unterscheiden kann. Cantor begriff die Unendlichkeit n?mlich als eine Menge, die eine unendliche Anzahl von Elementen (oder Zahlen) enth?lt. Indem er sich an der unendlichen Menge der nat¨¹rlichen Zahlen orientierte ¨C das sind diejenigen Zahlen, die man im Alltag beim Z?hlen verwendet, also 1, 2, 3, 4, 5 usw. ¨C, konnte er zeigen, dass es zwei grunds?tzlich verschiedene Arten von Unendlichkeit gibt.

N?mlich die ?abz?hlbar unendlichen? Mengen, die gleich viele Elemente (oder Zahlen) haben wie die unendliche Menge der nat¨¹rlichen Zahlen, und die ?¨¹berabz?hlbar unendlichen? Mengen, die mehr Elemente enthalten.  Zu der zweiten Art geh?rt die unendliche Menge der reellen Zahlen. Sie enth?lt neben ganzen Zahlen, auch negative Zahlen, Br¨¹che, Wurzeln oder mathematische Konstanten wie ¦Ð etc. Mathematiker nennen die unendliche Menge der reellen Zahlen das ?Kontinuum?.

Wie Cantor bewies, ist das Kontinuum tats?chlich gr?sser als die abz?hlbar unendliche Menge der nat¨¹rlichen Zahlen. Diese ist ihrerseits die kleinste unendliche Menge. Er untersuchte auch, ob es zwischen den unendlichen Mengen der nat¨¹rlichen und der reellen Zahlen noch eine ¨C oder sogar mehrere ¨Candere Arten von unendlichen Mengen geben kann. Er vermutete, dass dies nicht der Fall sei, und diese Vermutung nennt man die Kontinuumshypothese.

Aus der Vielfalt heraus das Unendliche eingrenzen

Zu seinem Leidwesen konnte er das nie beweisen ¨C bis heute ist dieser Beweis niemandem gelungen. Im Gegenteil: Nach dem Zweiten Weltkrieg bewiesen die Logiker Kurt G?del (1906¨C1978) und Paul Cohen (1934-?2007), dass man die Kontinuumshypothese innerhalb der bekannten axiomatischen Mengenlehre weder beweisen noch widerlegen kann. Man darf sowohl annehmen, zwischen der Menge der nat¨¹rlichen Zahlen und dem Kontinuum gebe es noch weitere Arten von Unendlichkeit, als auch, dass es da keine gebe. Weder die eine noch die andere Aussage widerspricht den Grunds?tzen dieser Mengenlehre.

Wie alle mathematischen Theorien baut die genannte Mengenlehre auf Axiomen auf. Das sind als wahr akzeptierte Grunds?tze, aus denen die weiteren mathematischen Aussagen widerspruchfrei herzuleiten sind. Als Standardsystem der Mengenlehre ¨C und damit als Grundlage der Mathematik insgesamt ¨C hat sich das Axiomensystem ZFC etabliert, das auf Ernst Zermelo (1871¨C1953) und Abraham Fraenkel (1891¨C1965) zur¨¹ckgeht. Es umfasst neun Axiome, darunter das Unendlichkeitsaxiom, dank dem man ¨¹ber unendliche Mengen auch Aussagen machen kann.

Die Kontinuumshypothese und die Frage, wie viele Arten von Unendlichkeit sich finden lassen, besch?ftigt die Mathematik bis heute, wobei sich die Ans?tze je nach philosophischer Haltung unterscheiden: So versuchen Mengentheoretiker wie Hugh Woodin, der Gastredner der Bernays Lectures 2016, die Kontinuumshypothese doch noch zu widerlegen oder zu beweisen, indem sie die ZFC-?Axiome mit neuen erweitern. Woodin folgt dabei seiner ?berzeugung, dass es nur ein ?richtiges? Modell der Mengelenlehre geben kann.  

Einen anderen, etwas ?verspielteren? Ansatz verfolgt Saharon Shelah, von dem man erz?hlt, er liebe es, anspruchsvolle Probleme zu l?sen, und der von sich selbst sagt, seine mathematikphilosophische Position sei der Hedonismus: ?Mathematik macht Spass!? Shelah fragt sich weniger, ob die Kontinuumshypothese unl?sbar sei, sondern er sagt sich umgekehrt, wenn sie so oder so keine Widerspr¨¹che zu den Axiomen der Mathematik ausl?st, dann ist man frei  davon auszugehen, dass sie nicht gilt, und anschliessend zu untersuchen, ob es zus?tzliche Arten von  Unendlichkeit gibt. Im Prinzip k?nnte es zwischen der abz?hlbaren Unendlichkeit und dem Kontinuum unendlich viele Unendlichkeiten geben.

Einige lassen sich ausschliessen: ?F¨¹r unendliche Mengen ist jede erdenkliche Gr?sse m?glich, die keinen Widerspruch zu den ZFC-Axiomen ausl?st?, sagt Lorenz Halbeisen, Privatdozent und Logiker der ETH Z¨¹rich, der mit Shelah geforscht hat. Daf¨¹r hat Shelah die so genannte Proper Forcing-Technik entwickelt. Mit dieser Methode l?sst sich die ZFC-Mengenlehre um neue unendliche Mengen erweitern, und man kann sehr verschiedene Modelle von ZFC konstruieren, um damit gewisse Aussagen zu ¨¹berpr¨¹fen. ?Mit dieser Technik kann man sehr gut angeben, was in einem Modell jeweils m?glich ist und welche Gr?ssen man f¨¹r unendliche Mengen ausschliessen kann?, sagt Halbeisen.

Ein Gesp¨¹r f¨¹r erstaunliche Zusammenh?nge